Дроби это: Урок 47. понятие дроби — Математика — 5 класс

Дроби

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:

Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.

Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

где a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь  и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съестьпиццы.  В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.


Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».


Выделение целой части дроби

Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

Схематически это выглядит так:

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби  и получили новую дробь .  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

Получили:


Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:

Подробное решение выглядит так:

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:


Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:


Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь .  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь .  Если верить основному свойству дроби, то дроби   и  равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби  и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями  и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!


Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .

Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1. Сократить дробь

Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби  надо разделить на 2

В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.

На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.


Пример 2. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.

НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20


Пример 3. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.

НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4

Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.


Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:

Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби  на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

 Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:

Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части

Задание 10. Сократите следующую дробь на 3

Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом

Задание 12. Сократите следующую дробь на 5

Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом

Задание 14. Сократите следующие дроби:

Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:

Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Урок 47. понятие дроби — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 47

Понятие дроби

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • обыкновенная дробь;
  • числитель и знаменатель обыкновенной дроби;
  • правильная, неправильная дробь.

Тезаурус

Дробь в математике – число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя

Неправильные дроби – это дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя.

Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто в жизни мы слышим такие выражения: «Прошел половину пути», «Купил четвертинку хлеба», «Сделал третью часть от работы». Все эти выражения связаны с новым понятием «дробь». О ней сегодня и пойдёт речь.

Чтобы ввести понятие дроби, выполним следующее задание.

Две части будут весить две третьих килограмма.

Если на отрезке АС укладывается ровно 3 раза отрезок длиной одна пятая сантиметра, то говорят, что длина отрезка равна три пятых сантиметра.

Такие записи называются обыкновенными дробями или просто дробями.

Дробь показывает какую-то часть от целого или единицы. Например, дробь семь восьмых показывает семь восьмых части от единицы.

Обозначенное таким образом число называют рациональным числом. При этом p называется числителем дроби (он всегда находится над чертой), а q – знаменателем дроби (он всегда находится под чертой).

Рассмотрим виды обыкновенных дробей. Обыкновенные дроби можно разделить на следующие виды – правильные, когда числитель меньше знаменателя, и неправильные, когда числитель равен или больше знаменателя.

Сколько часов содержится в четверти суток?

Так как в сутках 24 часа, то нам по условию надо найти четвёртую часть, т. е. разделить двадцать четыре часа на четыре части.

Решим задачу, используя понятие обыкновенной дроби.

В коробке находилось два вида конфет: 5 шоколадных и 6 карамелек. Какую часть всех конфет занимают карамель и шоколад?

Решение: для начала найдём общее количество конфет в коробке, для этого сложим все виды конфет.

5 + 6 = 11 – конфет в коробке.

Теперь можно найти, какую часть от общего количества конфет занимает карамель, а какую шоколадные конфеты. Для этого запишем результат в виде обыкновенной дроби, где в знаменателе укажем общее число конфет. Пять одиннадцатых – часть шоколадных конфет, а шесть одиннадцатых – часть карамели.

Тренировочные задания

№ 1. Сколько минут содержится в одной трети часа?

Решение: для решения этой задачи достаточно вспомнить, что 1 ч = 60 мин.

Найдём третью часть от 60 минут, для этого:

60 мин : 3 = 20 мин

Ответ: 20 мин.

№ 2. Длина отрезка АВ равна 10 см. Чему равен отрезок, длина которого составляет две пятых от длины отрезка АВ?

Решение: сначала найдём, чему равна одна часть из 5 отрезков.

10 см : 5 = 2 см – одна часть.

По условию задачи нужно найти 2 части из пяти, поэтому: 2 см · 2 = 4 см

Ответ: 4 см.

Виды дробей и основные понятия, формулы и примеры решений

Определение

Дробью или обыкновенной дробью называется число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Подробнее об обыкновенных дробях по ссылке →

Обыкновенные дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и
горизонтальной (называется винкулум) или наклонной (солидус) черты, которую называют чертой дроби.

Например. 1/3, $\frac{1}{3}$ (читается: одна третья).

Определение

Число, которое стоит над чертой дроби, называется числителем, а число, записанное под чертой дроби — знаменателем.

Например. 1/3, У дроби $\frac{15}{17}$ (пятнадцать семнадцатых)
число 15 является числителем, 17 — знаменателем.

Определение

Если числитель дроби меньше, чем ее знаменатель, то дробь называется правильной.

Дробь, числитель которой либо равен, либо больше знаменателя, называется неправильной.

Подробнее о правильных и неправильных дробях по ссылке →

Например. Дробь $\frac{3}{4}$ (три четвертых)
является правильной, так как числитель этой дроби — 3 — меньше, чем знаменатель, который равен 4: 3

Определение

Сумму натурального числа и правильной дроби обычно записывают без знака плюс. Такие дроби называются смешанными.
Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а правильную дробь — дробной частью смешанного числа.

Подробнее о смешанных дробях по ссылке →

Например. $7 \frac{4}{5}=7+\frac{4}{5}$ (семь целых четыре пятых). 7 — целая часть,
$\frac{4}{5}$ — дробная.

Определение

Если числитель и знаменатель дроби нельзя сократить на одно и тоже число, отличное от 1, то дробь называется
несократимой; иначе — сократимой.

Например. Дробь $\frac{3}{5}$ (три пятых) является
несократимой, так 3 и 5 являются взаимно простыми числами, то есть их нельзя поделить на одно и тоже число. Дробь
$\frac{3}{9}$ (три девятых) сократимая, так как числитель и знаменатель делится на 3.

Определение

Если знаменателем дроби являются числа 10, 100, 1000 и т.п., то такая дробь называется десятичной.

Подробнее о десятичных дробях по ссылке →

Например. $\frac{3}{10}, \frac{17}{1000}, \frac{7}{100}$

Для удобства записи такие дроби записывают без знаменателя, целую часть от дробной отделяют запятой.

Например. $\frac{3}{10}=0,3, \frac{17}{1000}=0,017,7 \frac{7}{100}=7,07$

Определение

Составной дробью называется выражение, которое содержит несколько черт дроби.

Например. $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}, \frac{3 / 4}{6 / 7}$

Читать следующую тему: обыкновенные дроби.

Слишком сложно?

Понятие дроби. Виды дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Числитель и знаменатель обыкновенной дроби

Числитель дроби — это число, стоящее в записи обыкновенной дроби над дробной чертой, то есть сверху. Числитель показывает количество долей.

Знаменатель дроби — это число, стоящее в записи дроби под дробной чертой, то есть снизу. Знаменатель показывает, какие это доли и на сколько равных частей разделена единица.

Дробная черта — это горизонтальная черта в записи дроби, которая отделяет числитель и знаменатель друг от друга.

Вместе, числитель и знаменатель дроби, называются членами дроби.

Условились считать, что дробная черта означает деление верхнего числа на нижнее, поэтому:

Любую операцию деления можно записать в виде дроби. И наоборот, любую дробь можно записать в виде операции деления.

Как читать запись обыкновенных дробей

Запись обыкновенных дробей читается так: сначала называется числитель, затем — знаменатель. При чтении числителя, он всегда должен отвечать на вопрос: сколько долей?. Например, одна, две, три и т. д. При чтении знаменателя, он всегда должен отвечать на один из вопросов: какая? или каких?. На какой именно из этих вопросов он должен отвечать, зависит от количества долей. Если в числителе стоит число  1,  то знаменатель будет отвечать на вопрос какая?, если число больше единицы, то на вопрос каких?. Если в числителе стоит число  0,  то знаменатель всегда будет отвечать на вопрос каких?.

По этому правилу читаются все обыкновенные дроби.

Пример 1. Прочитайте дробь  ,  назовите числитель и знаменатель.

Решение:

Дробь    читается так: одна восьмая (сколько долей взято? — одна, одна какая? — восьмая). Числитель — один (или единица), знаменатель — восемь.

Пример 2. Прочитайте дробь  .

Решение:

Дробь    читается так: три седьмых (сколько долей взято? — три, три каких? — седьмых).

Пример 3. Прочитайте дробь  .

Решение:

Дробь    читается так: ноль третьих.

Как объяснить дроби

Тема дробей является одной из самых трудных для школьников. Однако любая сложная задача становится намного проще и интереснее, если подойти к ней увлеченно, с фантазией и превратить ее в игру. Будущему школьнику дружба с дробными числами покажется не такой уж сложной, если начать знакомство заранее. Поэтому, несмотря на то, что по школьной программе эту тему проходят в 5 классе, начать знакомство с дробями, их смыслом и простейшими операциями с ними можно и нужно еще в старшем дошкольном возрасте. Таких детей даже не придется обучать целенаправленно, они прекрасно усваивают материал через игру и творчество.

Что нужно знать о дробях прежде всего?

  • Дробь — нецелое число, обозначающее некоторое количество частей или долей от целого.
  • Дробь всегда меньше целого.
  • Чем больше в целом долей, тем эти доли мельче. И наоборот, разделив целое пополам, получим две большие равные доли.

Как сделать изучение дробей наглядным?

Детям намного проще усваивать новое, если примеры будут наглядными. Самый доступный способ продемонстрировать принцип действия дробных чисел — это еда. Прекрасно с этой целью справятся яблоки, плитка шоколада или торт. Разделите яблоко вместе с ребенком поровну на всех членов семьи.

Еще один замечательный способ наглядного изучения дробей — детали конструктора. С их помощью ребенок может довольно быстро освоить простые примеры сложения и вычитания дробей, а также их сравнение.

Вполне доступным и увлекательным изучение дробей можно сделать с помощью аппликаций, рисунков и пластилина. Совместное творчество с регулярными комментариями — прекрасный способ совместить приятное с полезным.

Как правильно познакомить ребенка с дробями?

Если вы решили помощь ребенку освоить дроби, не стоит сваливать на него всю информацию сразу. Ненавязчиво, понемногу, вооружившись доступными примерами из повседневной жизни, разговаривайте с ребенком о целых предметах и кусочках, о том, как из кусочков собрать целое и как из целого получается много-много частей.

Для начала объясните ребенку понятия “часть” и “целое”. Вот шоколадка, целая, вкусная. Она состоит из долек, кусочков, частей. Предположим, их 10. Малыш отломал кусочек — и вот у него в руках 1 кусочек из 10. Отломал еще для мамы кусочек — получилось уже два кусочка из 10. Регулярно повторяйте подобные эксперименты с пиццей, мандаринами или стаканом молока. Теория должна хорошенько закрепиться и усвоиться. Отрабатывать полученные знания на практике можно также на нашем сайте — в блоке “Обучение” есть много интересных заданий по математике, с помощью которых ребенок может потренироваться в изучении частей и целого.

Далее можно приступать к объяснению понятия “доли”. Пусть ребенок разделит апельсин или шоколадку на равные части, чтобы всем хватило и никто не обиделся. Эти части называются доли. Доли — это то, из чего состоит целый предмет. В шоколадке, состоящей из 10 равных кусочков, 10 долей. Если яблоко разрезать пополам, будет две доли, каждая из которых представляет собой половину целого яблока.

Когда ребенок достаточно успешно разберется в том, что такое часть, целое и доли, можно вводить понятие “дробь” и начинать дробить вместе с ним все, что попадется под руку: те же шоколадки или яблоки. Смысл самого процесса остается прежним. Дроби придумали для того, чтобы обозначать количество долей, взятых из целого и оставшихся в целом. Показатель под чертой (знаменатель) обозначает количество долей в целом предмете, а число над чертой (числитель) — количество долей, которые мы хотим взять. То есть если у нас была шоколадка из 5 равных кусочков, а мы взяли 1, то дробь, выражающая это наше действие, выглядит как 1/5, а произносится как “одна пятая” (слово доля здесь опускается, но подразумевается).

Целый предмет тоже можно выразить через дробь. Для демонстрации этого отлично подойдет упаковка конфет. Коробочка целая, если в ней 10 конфет, каждая конфетка на своем месте. 10 конфет — 10 частей, и целая упаковка — 10 штук. Получается, что 10/10 — это целая упаковка конфет, 1 упаковка. При изображении целого числа с помощью дроби числитель и знаменатель — всегда одно и то же число, обозначающее все доли, составляющие целый предмет.

Таким образом, если ребенок уже умеет писать и готов учиться записывать дроби, постарайтесь постоянно напоминать ему последовательность, задавая наводящие вопросы. Сколько всего частей в целом предмете? Пишем под чертой. А сколько частей мы взяли из этого целого предмета? Пишем над чертой. Это довольно просто, если разобраться.

Когда ребенок активно знакомится с долями и целыми, он должен понимать, что дробные числа — это не просто замысловатые математические задачки, а вполне обычное явление в повседневной жизни. Продемонстрируйте ему, что дроби пригодятся, например, когда малыш захочет поделить свои конфеты с другом. Расскажите, что дробями измеряют не только апельсины или торты, но и объемы жидкости, расстояние маршрута, деньги и даже время. Когда вы готовите ужин, гуляете в парке или путешествуете по гипермаркету со списком покупок — в любой подходящей ситуации показывайте ребенку на живом примере, как работают дроби, для чего так необходимо в них разбираться и как их следует использовать. Понимая пользу и необходимость практического применения, детям будет интереснее и проще подружиться с такой непростой темой.

Автор: педагог-психолог Антонина Валевич

Дробь (математика) — это… Что такое Дробь (математика)?

У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь.

8/ 13числитель
числительзнаменательзнаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные.

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или где Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  • ½
  • 1/2 или (наклонная черта называется «солидус»[2])
  • выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.))
  • строчная формула:
Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби , и  — правильные дроби, в то время как , , и  — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

или или

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

Пример: .

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

 — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

 — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: и . Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: .
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем и . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

Следовательно,

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

+ = + =

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось . Приводим дробь к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

 — =  — =

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем .

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

Например,

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

 — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

История и этимология

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[3]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[4].

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

Обобщения

См. также

Литература

Примечания

определения, обозначения, примеры, действия с дробями, числитель и знаменатель

Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.

Доли целого

Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.

Определение 1

Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.

Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.

Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.

Определение 2

Половина – одна вторая доля предмета.

Треть – одна третья доля предмета.

Четверть – одна четвертая доля предмета.

Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина — 12 или 1/2; треть — 13 или 1/3; одна четвертая доля — 14 или 1/4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.

Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.

Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1/12. Две доли – 2/12; три доли – 3/12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12/12. Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.

Определение 3

Обыкновенная дробь – это запись вида mn или m/n, где m и n являются любыми натуральными числами.

Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4/9, 1134, 91754. А такие записи: 115, 1,94,3 не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Определение 4

Числителем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число m.

Знаменателем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число n.

Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 754 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m1 имеет смысл натурального числа m. Это утверждение служит обоснованием равенства m1 = m.

Запишем последнее равенство так: m = m1.  Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 741.

Определение 5

Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m1.

В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m1 может быть представлена натуральным числом m.

Черта дроби как знак деления

 Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.

В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1n, а m долей 1n даст обыкновенную дробь mn. Следовательно, обыкновенную дробь mn можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.

Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m/n = m : n.

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 710: каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 18 яблока отлична от 78.

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Определение 6

Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби ab  и cd, для которых справедливо равенство:  a · d = b · c.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab  и cd, для которых равенство:  a · d = b · c не является верным.

Пример равных дробей: 13 и 412 – поскольку выполняется равенство 1 ·12 = 3 · 4.

В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.

Дробные числа

Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути — просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь mn, необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.

Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 1410.  Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 110 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 1410, расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.

Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 13, 26, 39, 515, 1133 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.

Определение 7

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n, то обыкновенная дробь mn является правильной.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined, то обыкновенная дробь mn является неправильной.

Приведем примеры: — правильные дроби:

Пример 1

— неправильные дроби:

Пример 2

13/13, 573, 901112, 167.

Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.

Определение 8

Правильная дробь – обыкновенная дробь, которая меньше единицы.

Неправильная дробь – обыкновенная дробь, равная или бОльшая единицы.

Например, дробь 812 – правильная, т.к. 8 12< 1. Дроби 532 и 1414 являются неправильными, т.к. 532 > 1, а 1414 = 1.

Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».

Рассмотрим неправильную дробь 88: она сообщает нам, что взято 8 долей предмета, состоящего из 8 долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь 88 по сути представляет целый предмет: 88=1. Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число 1.

Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: 115 и 363. Понятно, что дробь 115 сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь 115 – это 2 предмета и еще 15 от него. В свою очередь, 363 – дробь, означающая по сути 12 целых предметов.

Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: 88 = 1; 363 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 115 = 2 + 15). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».

Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.

Определение 9

Выделение целой части из неправильной дроби – это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.

Положительные и отрицательные дроби

Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби 517, 698, 6479 – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: +517, +698, +6479.

Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, -817, -7814 и т.д.

Положительная и отрицательная дробиmn и -mn – противоположные числа. Например, дроби 78 и -78 являются противоположными.

Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.

Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными (mn и -mn), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат О, но по разные стороны от нее.

Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде 0n. Такая дробь равна нулю, т.е. 0n= 0.

Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.

Определение 10

Рациональные числа – это множество положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0n.

Действия с дробями

Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами

  1. Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
  2. Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
  3. Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
  4. Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
  5. Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.

Что такое правила дроби? — Определение, факты и примеры

Что такое правила дроби?

Дробь: Дробь — это часть целого или совокупности, состоящая из числителя и знаменателя.

Пример: если мы подаем 1 часть торта с 8 равными частями, мы подаем 1 8 торта.

Давайте посмотрим, как решать операции с дробями.

Сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем

При сложении или вычитании двух дробей; нам нужно убедиться, что знаменатели совпадают.

Шагов:

  • Сложите или вычтите числители.

  • Знаменатель оставим прежним.

  • По возможности сократите ответ.

Пример: Решить 1 4 + 1 4

Пример: вычтите 1 4 из 3 4

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями:

Если знаменатели не совпадают:

  • Во-первых, сделайте их такими же

  • Затем сложите или вычтите одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример: Чтобы решить 1 4 + 1 2 , мы сначала сделаем знаменатели одинаковыми.

Мы меняем знаменатель 2 и делаем его равным 4, умножая его на 2. Однако нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы сохранить значение дроби неизменным.

Умножение 1 2 2 2 = 2 4

Поскольку знаменатели совпадают, теперь мы можем сложить обе дроби.

Точно так же мы используем эти правила для вычитания.

Умножение дробей

Чтобы умножить две дроби, просто умножаем числители и знаменатели.

Пример:

2 3 3 15 =?

Во-первых, упростим дробь 3 15 до наименьшего члена.

На дроби

При делении на две дроби:

  • Обратить вторую дробь, то есть поменять местами ее числитель и знаменатель, чтобы получить обратную величину.

  • Умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби.

Пример:

Решение неправильных дробей:

Дроби, числитель которых больше знаменателя, называются неправильными дробями. Когда мы решаем неправильные дроби, результатом может быть смешанное число (целая дробь и правильная дробь).

Пример:

38 7 =?

  • Разделите числитель на знаменатель.

38 ÷ 7 = 5 частных и 3 остатка

  • Запишите ответ целиком.

5

  • Затем запишите остаток над знаменателем.

5 3 7

Следовательно, 38 7 = 5 3 7

Таким образом, решая неправильную дробь 38 7 , мы получаем смешанное число 5 3 7

Интересные факты

История дробей

Знаете ли вы, что дроби в том виде, в котором они используются сегодня, не существовали в Европе до 17 века? Фактически, сначала дроби даже не рассматривались как числа сами по себе, а просто способ сравнения целых чисел друг с другом.Кто первым использовал дроби? Всегда ли они писались одинаково? Как до нас дошли дроби? Вот вопросы, которые мы собираемся
ответ за вас. Читайте дальше …

Слово «дробь» происходит от латинского «fractio», что означает «разбить». Чтобы понять, как дроби превратились в ту форму, которую мы узнаем, нам придется сделать еще один шаг назад во времени, чтобы узнать, какими были первые системы счисления.

Еще с 1800 года до нашей эры египтяне писали дроби.Их система счисления была базовой идеей в 10 долларов (немного похожей на нашу сейчас), поэтому у них были отдельные символы для 1 доллара, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов, 10 000 долларов, 100 000 долларов и 1 000 000 долларов. Древнеегипетская система письма была представлена ​​картинками, которые назывались иероглифами, и точно так же у них были картинки для чисел:

Вот пример того, как были составлены числа:

Не могли бы вы записать иероглифами 3 581 доллар?

Египтяне записали все свои дроби, используя то, что мы называем единичными дробями.У единичной дроби числитель (верхнее число) равен 1 доллару. Они помещают изображение рта (что означает часть) над числом, чтобы преобразовать его в единичную дробь. Например:

Вот пятая часть.

Можете ли вы придумать, как написать одну шестнадцатую?

Они выражали другие дроби как сумму долей единицы, но им не разрешалось повторять дробь единицы в этом сложении. Например, это нормально:
$$ {3 \ over4} = {1 \ over2} + {1 \ over4} $$
Но это не так:
$$ {2 \ over7} = {1 \ over7} + { 1 \ over7} $$

Огромным недостатком египетской системы представления дробей является то, что очень трудно производить какие-либо вычисления.Чтобы попытаться преодолеть это, египтяне сделали множество таблиц, чтобы они могли найти ответы на проблемы.

В Древнем Риме дроби записывались с использованием слов только для описания части целого. Они были основаны на единице веса, которая называлась as. Одно «as» состояло из 12 унций, поэтому дроби были сосредоточены на двенадцатых. Например:

$ {1 \ over12} $ назывался uncia

$ {6 \ over12} $ назывался semis

$ {1 \ over24} $ назывался semuncia

$ {1 \ over144} $ был вызван scripulum

Как и в египетской системе, слова очень затрудняли вычисления.

Вавилоняне были первыми, кто придумал более разумный способ представления дробей. Фактически, они сделали это до методов римлян, но между двумя цивилизациями не было контакта. Вавилоняне жили в стране, которую мы теперь называем Ираком на Ближнем Востоке. Их система счисления была построена вокруг числа 60 долларов, поэтому мы говорим, что это базовые 60 долларов. Другими словами они сгруппированы
чисел в $ 60 $ s, тогда как мы группируем в $ 10 $ s. (Мы по-прежнему используем базу в 60 долларов при измерении времени и углов.) Тем не менее, они также сгруппированы в $ 10 $ s и поэтому имеют только два символа, один для единицы и один для $ 10 $:

Вот числа от 1 до 20 долларов.

Вы видите символ за 1 доллар?

А как насчет символа на 10 долларов?

Как бы вы написали 47 долларов?

Вавилоняне просто расширили свои числа, включив дроби в шестидесятые, как мы делаем для десятых, сотых и т. Д. Однако у них не было нуля или чего-то вроде десятичной точки. Это сильно сбивало с толку чтение чисел, поскольку их можно было интерпретировать по-разному.Вот пример:

Из приведенной выше таблицы видно, что это два числа: 12 долларов и 15 долларов. Вот где это сбивает с толку. Это может означать несколько разных вещей:

x60 Шт. Шестидесятые Число
$ 12 $ $ 15 $ $ 12 + {15 \ over60} = 12 {15 \ over60} $
$ 12 $ $ 15 $ 720 долл. США + 15 902 долл. США

Итак, хотя у вавилонян был очень изощренный способ записи дробей, у него были свои недостатки.Примерно в 311 г. до н.э. они изобрели ноль, чтобы упростить задачу, но без десятичной точки все еще было трудно отличить дроби от целых чисел. Мы подошли к концу нашего путешествия по истории дробей! Формат, который мы знаем сегодня, является прямым результатом работы
Индийская цивилизация. Успех их способа записи дробей обусловлен созданной ими системой счисления, которая имеет три основных идеи:

i) Каждая цифра имеет символ, который не похож на значение, которое она представляет
ii) Значение числа зависит от положение этого числа во всем числе
iii) Ноль необходим, чтобы ничего не значить, а также для заполнения места отсутствующих единиц

Примерно к 500 году нашей эры индейцы разработали систему, основанную на письме, называемом брахми, которое было девять символов и ноль.Опять же, это было изобретено задолго до некоторых других способов счета, которые мы уже обсуждали. Однако только благодаря торговле арабов эти индийские цифры распространились в Аравии, где они использовались в той же форме. На диаграмме ниже показано, как
эти символы брахми стали числами, которые мы знаем сегодня:

В Индии дроби записывались так же, как мы сейчас, с одним числом (числителем) над другим (знаменателем), но без линии.Например:

Это арабы добавили линию (иногда проведенную горизонтально, иногда под наклоном), которую мы теперь используем для разделения числителя и знаменателя: $$ {3 \ over4} $$

Итак, у нас есть дробь в том виде, в каком мы ее теперь понимаем. Удивительно подумать, сколько мыслей было вложено в то, как мы это записываем, не так ли? Возможно, вы вспомните об этом, когда в следующий раз будете использовать дроби.

Все изображения воспроизведены с любезного разрешения http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/.

Если вы хотите узнать больше, посетите эти веб-сайты:
http: // www-groups.dcs.st-and.ac.uk
http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/
http://www.gosai.com

«Всеобщая история чисел» Жоржа Ифра , опубликованный Harvill, также является фантастическим источником информации.

Возможно, вы могли бы узнать о системах счисления других цивилизаций. Для получения информации о греках попробуйте:
http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/gr_count/gr_count.html

Умножение дробей

Умножение фракции можно сделать, выполнив несколько относительно простых шагов.В отличие от сложения или вычитания дробей нам не нужен общий знаменатель. Мы можем сразу же умножить любые две или более дроби, следуя этим правилам:

  1. Умножить все числители каждой умножаемой дроби
  2. Умножьте все знаменатели каждой умножаемой дроби (порядок шагов 1 и 2 можно поменять местами)
  3. Запишите произведение числителей и знаменателей в числителе и знаменателе новой дроби, соответственно.
  4. При необходимости упростите результат

Примеры

Решить:

Сначала умножаем числители:

2 × 4 = 8

Далее умножаем знаменатели:

5 × 7 = 35

Итак,

У чисел 8 и 35 нет делителей, поэтому дробь уже упрощена.

В следующем примере нам нужно будет упростить:

Вышеупомянутая дробь еще не упрощена, потому что 10 и 54 делят множитель 2. Итак, мы делим 10 на 2 и 54 на 2, чтобы получить:

Это эквивалентные дроби.

Умножение дробей и целых чисел

Процесс умножения дробей и целых чисел практически одинаков. Нам просто нужно записать целое число в виде дроби, чтобы его умножить. Целое число в форме дроби может быть представлено так называемой неправильной дробью.Проще говоря, неправильная дробь — это дробь, в которой значение дроби больше 1.

Чтобы представить целое число в форме дроби, мы можем просто рассматривать целое число как числитель дроби, помещая 1 в знаменатель, поскольку 5 ÷ 1 по-прежнему равно 5. Это то же число, но позволяет нам видеть целое число 5 в виде дроби.

Примеры

Решить:

Записываем сначала 12 как целое число, затем умножаем дроби:

Если вы освоите целые числа и дроби, нет необходимости записывать целое число в дробной форме.1, умноженная на что-либо в знаменателе, сохранит знаменатель неизменным, поэтому нам просто нужно умножить целое число на числитель, а затем упростить дробь.

Умножение смешанных дробей

Умножение смешанных дробей в основном требует, чтобы мы преобразовали смешанную дробь в неправильную дробь перед умножением.

Пример

Решить:

Сначала посмотрим на смешанное число,. Чтобы преобразовать это в неправильную дробь, мы умножаем знаменатель, 4, на 2, а затем добавляем числитель.Это дает нам числитель неправильной дроби, в то время как знаменатель неправильной дроби остается прежним. Итак:

2 × 4 + 3 = 11, поэтому

Чтобы понять почему, мы можем рассматривать это как задачу сложения дробей. Мы знаем, что нам нужен общий знаменатель, чтобы можно было складывать дроби. Цифра 2 в эквивалентных дробях — это. Мы могли бы взглянуть на это по-другому: 2 = 1 + 1, а 1 с общим знаменателем эквивалентно. Независимо от того, как мы представляем 2 в дробях, когда мы добавляем его к, мы получаем:

, что мы и получили, когда конвертировали с использованием описанного выше метода.

Теперь мы можем закончить задачу умножения:

Это уже упрощено, но если бы мы захотели, мы могли бы также представить его в смешанных дробях, изменив шаги, показанные выше.

77 делит 36 дважды, в результате остается 5, поэтому:

Сложение и вычитание дробей — математика для сделок: Том 1

Эбигейл, Ханна и Наоми готовятся к промежуточному экзамену. Материал, который они должны изучить, состоит из 16 разделов чтения.Трое из них понимают, что 16 глав — это много для каждой из них, поэтому они решают учиться более эффективно. Они придумывают план, в котором каждый из них читает определенное количество глав, а затем резюмирует его для двух других. Они поделятся заметками, и каждый найдет онлайн-видео, соответствующие их конкретному набору глав.

Теперь главы не создаются одинаково. Некоторые из них довольно просты, а другие намного сложнее. Их цель — равномерно распределить нагрузку между ними троими.Помните, что есть 16 глав.

У Эбигейл больше всего глав, которые нужно пройти — 6. У Ханны 5, а у Наоми только 4. Если сложить их, то можно заметить, что это всего 15 глав. Последняя глава книги посвящена поиску и устранению неисправностей в электрических системах, и ученики решают, что они пройдут через это вместе.

Мы можем представить каждую из их рабочих нагрузок как часть целого:

[латекс] \ LARGE \ text {У Эбигейл есть} \ dfrac {6} {16} [/ latex]

[латекс] \ LARGE \ text {Ханна имеет} \ dfrac {5} {16} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ text {Наоми есть} \ dfrac {4} {16} [/ латекс]

Что, если сложить эти дроби? Это будет выглядеть примерно так:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {6} {16} + \ dfrac {5} {16} + \ dfrac {4} {16} =? [/ Latex]

Обратите внимание: все числители разные, а знаменатели одинаковые (16).При сложении или вычитании дробей знаменатели должны быть одинаковыми. Мы называем это общим знаменателем.

Итак, чтобы получить ответ на поставленный выше вопрос, вы просто складываете все числители. В этом отношении сложить дроби очень просто.

Обратите внимание, что знаменатель в окончательном ответе такой же, как и в добавляемых дробях. К концу ученики пройдут 15 из 16 глав по отдельности, а затем вместе они пройдут последнюю главу.

Идея сложения дробей с общими знаменателями достаточно проста, и мы сделали достаточно сложения целых чисел, поэтому рассмотрение примеров на данном этапе может не стоить того (но если вам нужен обзор, см. Добавление целых чисел). Вместо этого мы напишем несколько примеров сложения дробей, чтобы вы могли понять идею.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {2} {8} = \ dfrac {3} {8} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {16} + \ dfrac {6} {16} = \ dfrac {11} {16} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {13} {32} + \ dfrac {11} {32} = \ dfrac {24} {32} [/ латекс]

Вы замечаете что-нибудь в ответе на последний? Его можно уменьшить.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {24} {32} \ longrightarrow \ dfrac {2} {3} [/ латекс]

Прежде чем мы продолжим работу с дробями, возможно, сейчас самое время заявить, что, работая с дробями, мы обычно хотим выражать ответ в минимальных выражениях.

А как насчет вычитания дробей? Что ж, он следует тому же принципу: у вас должен быть общий знаменатель, а затем вы вычитаете числители. Вот несколько примеров вычитания дробей:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {8} — \ dfrac {2} {8} = \ dfrac {3} {8} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {9} {16} — \ dfrac {5} {16} = \ dfrac {4} {16} \ longrightarrow \ dfrac {1} {4} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {27} {32} — \ dfrac {14} {32} = \ dfrac {13} {32} [/ латекс]

Мы собираемся немного увеличить его.Наши примеры сложения и вычитания дробей довольно просты из-за того, что знаменатели совпадают. Более сложная ситуация связана с сложением или вычитанием дробей с разными знаменателями. Взгляните на следующий пример:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {3} {8} =? [/ Латекс]

Нельзя просто сложить числители и знаменатели, это просто не сработает. Взгляните на два нарисованных ниже круга. Один разделен на 2 части, а другой — на 8 частей.Вы что-нибудь замечаете в размерах деталей?

Вы заметите, что части в круге из 2 частей намного больше, чем в круге из 8 частей. Если бы мы сложили части в каждом из кругов, это было бы похоже на добавление яблок и апельсинов.

Итак, идея сводится к тому, чтобы добавляемые детали были одного размера. Если мы сможем каким-то образом добраться до этой точки, тогда все в порядке, и мы можем сложить две дроби. Это называется поиском общего знаменателя, и чаще всего мы пытаемся найти наименьший общий знаменатель.

Наименьший общий знаменатель: наименьшее число, в которое могут входить два знаменателя.

Взгляните на уравнение ниже. Один из знаменателей равен 2, а другой — 8.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {3} {8} =? [/ Латекс]

Процесс здесь аналогичен тому, когда мы помещали дроби в их наименьшие значения в последнем разделе, только на этот раз мы будем увеличивать по крайней мере один из знаменателей, а иногда мы будем увеличивать оба, пока не найдем тот, который является общий.Мы ищем число, в которое могут входить оба знаменателя. В этом примере мы видим, что 2 может перейти в 8, а 8 может перейти в 8. Это оставляет нам общий знаменатель 8.

Мы определили, что 8 будет нашим общим знаменателем, а это значит, что одна из дробей уже годна.

А как насчет 1 на 2 или половины? Мы должны превратить половину в дробь со знаменателем 8.

Как мы вычислили выше, 2 четыре раза преобразуется в 8.

[латекс] \ LARGE2 \ times4 = 8 [/ латекс]

Это хорошо для знаменателя, но как насчет числителя? Что ж, что бы мы ни делали с одной частью фракции, мы должны делать то же самое с другой частью. Это оставляет дробь с тем же значением. Затем нам нужно также умножить 1 на 4.

[латекс] \ LARGE1 \ times4 = 4 [/ латекс]

Если бы мы хотели сделать все за один шаг, это выглядело бы примерно так:

Теперь у нас есть над чем поработать. Вернитесь к исходному уравнению и замените [latex] \ dfrac {1} {2} [/ latex] на [latex] \ dfrac {4} {8} [/ latex].

[латекс] \ LARGE \ dfrac {4} {8} + \ dfrac {3} {8} = \ dfrac {7} {8} [/ латекс]

Хорошо, это работает для сложения дробей, но как насчет вычитания дробей? Что ж, вычитание дробей следует тому же принципу: если знаменатели не совпадают, то мы должны сначала найти общий знаменатель, прежде чем вычитать две дроби.

Рассчитайте следующее:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {7} {8} — \ dfrac {13} {16} = [/ латекс]

Шаг 1. Найдите общий знаменатель.Это может стать немного сложнее, когда числа начнут расти. Чем ближе вы познакомитесь с закономерностями в цифрах, тем легче вам будет получать ответы. Вопрос, который мы задаем прямо сейчас: «Какое число может быть равно 8 и 16?»

Мы могли бы даже начать с того, что посмотрим, может ли меньший знаменатель перейти в больший знаменатель. В данном случае это так.

Дробь с общим знаменателем 16 уже годится, но мы должны работать с дробью со знаминателем 8.

Шаг 2: Умножьте числитель и знаменатель числа на 2, чтобы получить дробь с общим знаменателем 16.

Шаг 3: Вычтите новые версии дробей.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {14} {16} — \ dfrac {13} {16} = \ dfrac {1} {16} [/ латекс]

Ответьте на следующие практические вопросы и посмотрите видео-ответы. Убедитесь, что каждый ответ состоит из наименьших элементов или смешанного числа, если необходимо.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {3} {16} + \ dfrac {5} {8} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {8} — \ dfrac {5} {16} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {7} {8} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE2 \ dfrac {1} {2} +1 \ dfrac {7} {8} = [/ латекс]

Погодите! Последний вопрос усилил его, добавив смешанные числа.Я знаю, что вы уже просмотрели видеоответ, но давайте сделаем шаг назад и рассмотрим действия по сложению и вычитанию смешанных чисел. Начнем с короткого объяснения.

Проблема, с которой мы сталкиваемся при сложении или вычитании смешанных чисел, заключается в том, что смешанное число состоит из двух отдельных частей: целого числа и дроби. При сложении чисел это может быть просто, например:

[латекс] \ LARGE4 \ dfrac {3} {8} +3 \ dfrac {2} {8} = 7 \ dfrac {5} {8} [/ латекс]

Довольно просто, правда? Вы просто складываете два целых числа, а затем складываете дроби.Получается неплохо. Но как насчет ситуации, подобной следующему примеру?

[латекс] \ LARGE4 \ dfrac {5} {8} +3 \ dfrac {4} {8} =? [/ Латекс]

Вы видите проблему?

Проблема (на самом деле это не проблема) в том, что, когда мы складываем дроби, мы получаем большее число в числителе, чем в знаменателе.

[латекс] \ LARGE4 \ dfrac {5} {8} +3 \ dfrac {4} {8} = 7 \ dfrac {9} {8} [/ латекс]

Решение состоит в том, чтобы заменить неправильную дробную часть ответа смешанным числом, а затем прибавить это к целой числовой части ответа.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {9} {8} \ longrightarrow1 \ dfrac {1} {8} [/ латекс]

Возьмите 7 и прибавьте к смешанному числу, чтобы получить окончательный ответ.

[латекс] \ LARGE7 + 1 \ dfrac {1} {8} = 8 \ dfrac {1} {8} [/ латекс]

Хорошо, это казалось довольно простым, но как насчет вычитания? Что ж, мы придерживаемся тех же правил. Взгляните на следующий пример:

[латекс] \ LARGE8 \ dfrac {7} {8} -6 \ dfrac {3} {8} =? [/ Латекс]

Процедура аналогична сложению дробей, но вместо сложения мы вычитаем.Мы можем разбить его на две части. Мы начинаем с вычитания целых чисел, а затем вычитаем дробную часть.

Шаг 1: Вычтите целые числа.

[латекс] \ LARGE8-6 = 2 [/ латекс]

Шаг 2: Вычтите дробную часть уравнения.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {7} {8} — \ dfrac {3} {8} = \ dfrac {4} {8} \ rightarrow \ dfrac {1} {2} [/ латекс]

Шаг 3: Соберите все вместе.

[латекс] \ LARGE8 \ dfrac {7} {8} -6 \ dfrac {3} {8} = 2 \ dfrac {4} {8} \ rightarrow2 \ dfrac {1} {2} [/ латекс]

Ладно, не слишком сложно, правда? Но взгляните на следующий пример и посмотрите, сможете ли вы понять проблему, с которой мы столкнемся по мере ее прохождения.

[латекс] \ LARGE5 \ dfrac {2} {8} -3 \ dfrac {7} {8} =? [/ Латекс]

Проблема возникает не тогда, когда вы вычитаете целые числа, а когда вы вычитаете дроби.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {2} {8} — \ dfrac {7} {8} =? [/ Latex]

Мы бы получили ответ меньше нуля. У нас это не сработает. Так как же решить проблему? Что ж, ответ заключается в заимствовании, а то, что мы заимствуем, — это целое число, 5. Скажем так, мы заимствуем 1 из 5.Это оставило бы нас с 4, и что потом? Взгляните на следующую логику.

[латекс] \ LARGE5 = 4 + 1 [/ латекс]

[латекс] \ LARGE1 = \ dfrac {8} {8} [/ латекс]

Если мы пойдем дальше и разделим 5 на 4 и 1, а затем разделим это 1 на части из 8, у нас будет гораздо больше восьмых, с которыми нужно работать. Теперь мы можем собрать все вместе и получить следующее:

[латекс] \ LARGE5 \ dfrac {2} {8} = 4 + \ dfrac {8} {8} + \ dfrac {2} {8} = 4 \ dfrac {10} {8} [/ латекс]

Теперь у нас есть числа, с которыми мы можем работать в нашем исходном вопросе.

[латекс] \ LARGE4 \ dfrac {10} {8} -3 \ dfrac {7} {8} =? [/ Латекс]

Теперь мы выполняем те же шаги, что и раньше.

Шаг 1: Вычтите целые числа.

[латекс] \ LARGE4-3 = 1 [/ латекс]

Шаг 2: Вычтите дробную часть уравнения.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {10} {8} — \ dfrac {7} {8} = \ dfrac {3} {8} [/ латекс]

Шаг 3: Соберите все вместе.

[латекс] \ LARGE4 \ dfrac {10} {8} -3 \ dfrac {7} {8} = 1 \ dfrac {3} {8} [/ латекс]

Сложите или вычтите следующие смешанные числа, задавая наименьший ответ.Посмотрите видеоответы в конце, чтобы узнать, как вы справились.

[латекс] \ LARGE7 \ dfrac {3} {16} +4 \ dfrac {5} {16} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE2 \ dfrac {7} {16} +3 \ dfrac {7} {8} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE8 \ dfrac {27} {32} -1 \ dfrac {15} {32} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE6 \ dfrac {5} {16} -5 \ dfrac {5} {8} = [/ латекс]

Сложение и вычитание математических дробей

Сложение и вычитание дробей может показаться ужасным уроком математики для некоторых, но на самом деле это не так сложно, как некоторые думают.Хитрость заключается в том, чтобы уметь распознавать и переводить дроби в знакомые объекты; Вот почему ломтики пиццы и плитки шоколада обычно используются для обозначения дробей. Таким образом, вы можете визуализировать дробь и легко понять ее.

Сложение дробей: как складывать дроби?

Допустим, вы и ваш друг ели \ frac {1} {4} пиццы.

Суммируя их, получаем \ frac {4} {8} пиццы, которая также равна ½ пиццы, если вы упрощаете.

\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2}

Обратите внимание, что числители (числа в верхней части дроби) — единственные числа, которые добавляются. Знаменатели (числа внизу дроби) никогда не складываются. При сложении дробей важно следить за тем, чтобы знаменатели совпадали. Причина этого в том, что похожие знаменатели говорят вам, что добавляемые дроби делятся на аналогичные части.

Возьмем для примера эти кусочки пиццы. Допустим, у вас есть \ frac {1} {4} пицца, а у вашего друга \ frac {2} {4} той же пиццы.

Мы знаем, что \ frac {1} {2} пиццу можно разрезать на две равные части, так что они будут одинаковыми порциями. В результате получается 3 куска пиццы размером \ frac {1} {4}. Что дает нам:

\ frac {1} {4} + \ frac {2} {4} = \ frac {3} {4}

Сложение дробей возможно только в том случае, если знаменатели совпадают, потому что точное объединение возможно только при сложении одинаковых частей.Вот почему первое правило сложения дробей — убедиться, что знаменатели ваших слагаемых совпадают, потому что они представляют, на сколько равных частей были разделены дроби.

Вычитание дробей: как вычитать дроби?

То же правило применяется при вычитании дробей. Числители вычитаются, и знаменатели должны быть аналогичными.

Допустим, у вас есть \ frac {5} {8} плитки шоколада, и вы съели \ frac {1} {8}

\ frac {5} {8} — \ frac {1} {8} = \ frac {4} {8} плитки шоколада и \ frac {4} {8} можно упростить как \ frac {1} { 2}.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

При сложении и вычитании дробей со знаменателями, которые не совпадают, первый шаг — сделать знаменатели похожими. Для этого вам нужно найти эквивалентную долю каждого слагаемого, при этом убедившись, что оба слагаемых похожи. Вы можете использовать любой общий знаменатель, но использование наименьшего общего знаменателя делает сложение и вычитание не только проще, но и проще.

Вот несколько примеров:

Пример 1:

\ frac {1} {3} + \ frac {2} {5} =

Шаг 1. Сделайте одинаковые знаменатели, найдя наименьшие общие знаменатели.Поиск наименьшего общего знаменателя аналогичен поиску наименьшего общего кратного.

Перечислите числа, кратные 3 и 5. Первое общее кратное — наименьшее общее кратное.

3: 3, 6, 9, 12, 15, 18
5: 5, 10, 15, 20
Наименьшее общее кратное: 15

Используйте наименьшее общее кратное в качестве наименьшего общего знаменателя.

Шаг 2: Переименуйте слагаемые, найдя эквивалентные доли каждого слагаемого, используя наименьший общий знаменатель.

\ frac {1} {3} становится:

\ frac {1} {3} \ times \ frac {5} {5} = \ frac {5} {15}

\ frac {2} {5} становится:

\ frac {2} {5} \ times \ frac {3} {3} = \ frac {6} {15}

Шаг 3: сложите переименованные дроби

\ frac {5} {15} + \ frac {6} {15} = \ frac {11} {15}

Пример 2:

\ frac {4} {5} — \ frac {1} {2} =

Шаг 1. Сделайте одинаковые знаменатели, найдя наименьшие общие знаменатели.

Перечислите кратные 5 и 2. Первое общее кратное является наименьшим общим кратным.

5: 5, 10, 15, 20
2: 2, 4, 6, 8, 10
Наименьшее общее кратное: 10

Используйте наименьшее общее кратное в качестве наименьшего общего знаменателя.

Шаг 2: Переименуйте слагаемые, найдя эквивалентные доли каждого слагаемого, используя наименьший общий знаменатель.

\ frac {4} {5} становится:

\ frac {4} {5} \ times \ frac {2} {2} = \ frac {8} {10}

\ frac {1} {2} становится:

\ frac {1} {2} \ times \ frac {5} {5} = \ frac {5} {10}

Шаг 3: Вычтите переименованные дроби

\ frac {8} {10} — \ frac {5} {10} = \ frac {3} {10}

Сложение и вычитание дробей — это не ракетостроение.Понимание числителя и знаменателя — это первый шаг в решении этих двух операций исправления. Также полезно усвоить основные факты умножения, поскольку это наиболее полезно при сопоставлении знаменателей.

Сводка

Название статьи

Сложение и вычитание математических дробей

Описание

В этой статье вы узнаете, как можно легко визуализировать и понять процесс сложения и вычитания дробей, используя пошаговый метод.

Автор

Cel Moya

Имя издателя

Изучите ZOE

Логотип издателя

Как складывать дроби — ACT Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Разложение на дроби: роль знаменателя

Я очень люблю учить дроби! Для меня это имеет смысл, но я понимаю, что я в меньшинстве, когда дело касается обучения дробям.Я преподавал математику в начальной и средней школе, и одна общая проблема, с которой сталкиваются многие ученики, — это понимание роли знаменателя. Я узнал, что студенты не могут иметь реального концептуального понимания дробей, пока они не поймут роль знаменателя или единичной дроби. Я не всегда так учил дроби. Именно внедрение общих основных стандартов заставило меня переосмыслить то, как я представлял и обучал дробей своим ученикам. Хотя меня считают опытным учителем, мне нравится изучать более эффективные стратегии обучения, которые помогут моим ученикам лучше понимать такие понятия, как дроби.В августе 2007 года я бросил начальную школу, чтобы преподавать математику в шестом классе средней школы. В то время сложение дробей с разными знаменателями было умением 6-го класса. Я был шокирован, когда большинство студентов, которых я обучал, не понимали, что знаменатель никогда не меняется при преобразовании неправильных дробей в смешанные числа. Большинство из них понимали, что им нужно найти общие знаменатели для сложения, но когда дроби складывались и образовывалась неправильная дробь, они понимали, что когда дробь имела знаменатель 3, не имело значения, если вы преобразовали дробь в неправильную дробь, знаменатель остался прежним.Когда я думаю об этой ситуации, мне хотелось бы знать тогда то, что я знаю сейчас, потому что я мог бы преподать небольшой урок по разложению дробей. После того, как я вернулся в начальную школу, чтобы преподавать математику в 4-м классе, я заметил, что когда складываю дроби и 2 дроби равняются 1 целому, я спрашивал своих учеников, что это значит, когда числитель совпадает со знаменателем? Они могли сказать мне, что это целое, но когда им приходилось применять эту концепцию, большинство из них всегда путались или оставляли все как есть. Разложение дробей, таких как 3/3, на единицы 1/3 спасло меня после возвращения в начальную школу.Этот метод дал студентам концептуальное понимание, которое им необходимо для понимания того, что 3/3 — это сумма 1/3 + 1/3 + 1/3, где каждая единица имеет знаменатель 3 и не меняется, даже когда они складываются. . Это был прогресс для учителя и учеников! После того, как они научились разбирать дроби по-разному, например, 2/3 + 1/3 = 3/3, они естественным образом перешли к преобразованию неправильных дробей в смешанные числа.